Главная Обо мне Ссылки

Тригонометрические тождества

Тождество это равенство, верное при любом значении входящей в него неизвестной переменной из области допустимых значений. Тригонометрические тождества используются при упрощении выражений, решении тригонометрических уравнений и геометрических задач.

Все нижеперечисленные тригонометрические тождества получаются из двух основных:

sin² α + cos² α = 1,   cos (α − β) = cos α ⋅ cos β + sin β ⋅ sin α

Первое является следствием теоремы Пифагора, а второе получается применением теоремы косинусов (которая тоже вытекает из теоремы Пифагора).

Также используются выражения тангенса и котангенса через синус и косинус, которые следуют из определения этих функций.

Выбор знака (±) перед корнем в формулах V группы определяется координатной четвертью, в которой заканчивается угол.

I. Основные свойства

sin² α + cos² α = 1  (основное тригонометрическое тождество)

tg α = sin α / cos α ;   ctg α = cos α / sin α ;   tg α ⋅ ctg α = 1

tg² α = 1 / 1 + cos² α ;   ctg² α = 1 / 1 + sin² α

II. Функции суммы и разности углов

sin (α ± β) = sin α ⋅ cos β ± cos α ⋅ sin β

cos (α ± β) = cos α ⋅ cos β ∓ sin β ⋅ sin α

tg (α ± β) = tg α ± tg β / 1 ∓ tg α ⋅ tg β

ctg (α ± β) = ctg α ⋅ ctg β ∓ 1 / ctg β ± ctg α

III. Функции удвоенных углов

sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α

cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1

tg 2α = 2 tg α / 1 − tg² α

ctg 2α = ctg² α − 1 / 2 ctg α

IV. Функции утроенных углов

sin 3α = 3 sin α − 4 sin³ α

cos 3α = 4 cos³ α − 3 sin α

V. Функции половинных углов

sin α / 2 = ±√ 1 − cos α / 2

cos α / 2 = ±√ 1 + cos α / 2

tg α / 2 = ±√ 1 − cos α / 1 + cos α = sin α / 1 + cos α = 1 − cos α / sin α

ctg α / 2 = ±√ 1 + cos α / 1 − cos α = 1 + cos α / sin α = sin α / 1 − cos α

VI. Универсальная подстановка через тангенсы половинных углов

sin α = 2 tg α / 2 / 1 + tg² α / 2 ;   cos α = 1 − tg² α / 2 / 1 + tg² α / 2

tg α = 2 tg α / 2 / 1 − tg² α / 2 ;   ctg α = 1 − tg² α / 2 / 2 tg α / 2

VII. Произведение функций

cos α ⋅ cos β = 1 / 2 [cos (α − β) + cos (α + β)]

sin α ⋅ sin β = 1 / 2 [cos (α − β) − cos (α + β)]

sin α ⋅ cos β = 1 / 2 [sin (α − β) + sin (α + β)]

VIII. Сумма и разность функций

cos α + cos β = 2 cos α + β / 2 ⋅ cos α − β / 2

cos α − cos β = − 2 sin α + β / 2 ⋅ sin α − β / 2

sin α + sin β = − 2 sin α ± β / 2 ⋅ cos α ∓ β / 2

tg α ± tg β = sin (α ± β) / cos α ⋅ cos β

ctg α ± ctg β = sin (β ± α) / sin α ⋅ sin β

IX. Степени функций

sin² α = 1 / 2 (1 − cos 2α)

cos² α = 1 / 2 (1 + cos 2α)

sin³ α = 1 / 4 (3 sin α − sin 3α)

cos³ α = 1 / 4 (3 cos α + cos 3α)

X. Формулы дополни­тельного угла

a sin α + b cos α = √a² + b² sin (α + φ) = √a² + b² cos (α − γ)

a sin α − b cos α = √a² + b² sin (α − φ) = − √a² + b² cos (α + γ)

sin α + cos α = √2 sin (α + ^π⁄₄) = √2 cos (α − ^π⁄₄)

sin α − cos α = √2 sin (α − ^π⁄₄) = −√2 cos (α + ^π⁄₄)

φ = arctg b / a ,  γ = arctg a / b